班长说:对于傅里叶变换,它存在一些美妙的性质。这些性质不管在考研还是后续的工作中,都是你快速做出反应的基础。
傅里叶变换
“什么也不说,傅里叶变换公式需要我!”傅里叶的正反变换公式如下:
再来一张海绵宝宝图开篇:
图片来源:网络。海绵宝宝啊......
今天聊一聊4个傅里叶变换特性,这些性质有助于我们建立起信号分析的尺度与变换概念,多在脑海里面动态模拟这些性质,你会发现知识可以“脉动”起来!
频域与时域对称特性
傅里叶变化的对称特性,有助于我们快速的计算某些信号的傅里叶变换,快速的在脑海中模拟其频谱,从而能够果断的做出判断。
如果函数f(t)的频谱为F(w),那么函数F(t)的频谱为f(-w)的2pi倍数。证明过程如下:
对称性证明过程
我们可以发现频域与时域存在美妙的对称关系,这不仅可以帮助我们做题,更告诉我们,时域与频域可以“随意切换”!
对称性的切换
线性特性
所谓的线性特性,就是可叠加:
其中ai为常数,n为正整数。傅里叶变换的线性,也就是可以叠加的特性,利用傅里叶的公式很容易就证明了。相加信号的频谱等于单个信号频谱之和。
讲到这里,班长想到了线性空间,正交向量等线性代数的相关知识,傅里叶级数就是把空间里的元素写成基的线性组合。
可以从另外的视角看待傅里叶变换。这篇文章不再描述,后期我在与大家聊聊。
酉矩阵
尺度变换特性
我们经常听说频谱的压缩与扩展,其实就是傅里叶变化的尺度变化特性。我们也可以称之为分辨率的变化:
如果函数f(t)的频谱为F(w),那么函数f(t)经过扩展或者压缩,其频谱为F(w)的压缩与扩展。听起来很难,其实证明过程简单:
尺度变化证明
通过尺度变化,我们发现一个规律:时域的压缩,对应着频域的扩展;时域的扩展,对应着频域的压缩;这一条规律对于通信系统很重要。有了这一条规律,我们掌握了频域的
频谱压缩扩展技术
频谱搬移技术
没错,我们可以移动我们的频谱,就像在家搬动沙发一样。
搬动沙发
我们先看如果时域的信号出现了移动,那么频域会发生什么变化呢?
如果函数f(t)的频谱为F(w),那么我们在时域移动信号t0个位置,频域的变化就是需要乘以一个复指数函数,证明过程如下:
时域移动证明
同理,如果我们在频域移动w0个位置,那么在时域需要乘以一个复指数函数。频域搬移的证明如下:
频谱搬移技术
看到没,时域函数乘以正弦函数(复指数函数可以利用欧拉公式转为正弦表达式),相当于频域在两边的搬移哦。通信系统中的调制技术,将要用到这个特性。
调制技术
总结
傅里叶变化的性质其实还有卷积、微分等,这里不再描述。感兴趣的同学,可以自行百度学习或者翻开任意的《信号与系统》教材。这些性质并不会增加你的学习压力,反而会帮助你更深入的理解傅里叶变化。